viernes, 24 de febrero de 2012

Operaciones con matrices
Suma y Resta de matrices
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.
  Sea A =  \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0 \\5 &1& 1 \end{bmatrix} 

 y B = 

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} 



 La suma A + B


\begin{bmatrix} 2+1 & 0+0 & 1+1  \\ 3+1 &0 +2 & 0+1\\5+1&1+1 &1+0  \end{bmatrix} 

es igual  a
\begin{bmatrix} 3 & 0& 2 \\ 4& 2 &1 \\ 6 & 2& 1 \end{bmatrix}
Del mismo modo la resta se hace componente a componente A - B




\begin{bmatrix} 2-1 & 0-0 & 1-1  \\ 3-1 &0 -2 & 0-1\\5-1&1-1 &1-0  \end{bmatrix}
es igual a \begin{bmatrix} 1&0&0\\2&-2&-1\\4&0&1 \end{bmatrix}


 Propiedades de la suma de matrices

De la dimension

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

 Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

 Elemento neutro

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

\Elemento opuesto

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

 Conmutativa

A + B = B + A

 Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. A•B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 0 \\5 &1& 1 \end{bmatrix} • \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 2.1+0.1+1.1 & 2.0+0.2+1.1 & 2.1+0.1+1.0 \\ 3.1+0.1+0.1& 3.0+0.2+0.1& 3.1+0.1+0.0\\5.1+1.1+1.1&5.0+1.2+1.1 &5.1+1.1+1.0\end{bmatrix} es igual a
\begin{bmatrix} 3 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3 \\7 &3& 6 \end{bmatrix}




 Propiedades del producto de matrices

Asociativa

A • (B • C) = (A • B) • C

 Elemento neutro

A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anticonmutativa A • B ≠ B • A

 Distributiva del producto respecto de la suma

 Matriz inversa

A · A-1 = A-1 · A = I


Propiedades

(A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 (A t)-1 = (A -1)t


 Cálculo de la inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos: 1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. Consideremos una matriz 3x3 arbitraria
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1. F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es: F1


Puedes consultar este otro método para calcular la matriz inversa.
A • (B + C) = A • B + A • C
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